Sifat-Sifat pada Operasi Bilangan Cacah (Aritmetika Bagian-01)

01. Sifat-Sifat pada Operasi Bilangan Cacah

{0,1,2,3,4,...}
=
Himpunan bilangan Cacah
{1,2,3,4,5,...}
=
Himpunan bilangan Asli

a. Sifat-sifat penjumlahan

Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku:
-
Sifat komutatif
:
a+b = b+a
-
Sifat Asosiatif
:
(a+b)+c = a+(b+c)
-
Elemen Identitas pada Penjumlahan
:
a+0 = 0+a

b. Sifat-sifat pengurangan

Untuk setiap a,b,c,p,q, dan r bilangan cacah berlaku
1.
(a - b) + c = (a + c) - b
;
syarat:
a > b
2.
(a - b) + c = a - (b - c)
;
syarat:
a > b dan b > c
3.
a - b = (a + c) - (b + c)
;
syarat:
a > b
4.
(a - b) - c = (a - c) - b
;
syarat:
a > b dan (a-b) > c
5.
(a - b) - c = a - (b + c)
;
syarat:
a > b dan (a-b) > c
6.
a - b = (a - c) - (b - c)
;
syarat:
a > b dan b > c
7.
(a + b + c) - (p + q + r) = (a - p) + (b - q) + (c - r)
;
syarat:
a > p, b > q, dan c > r

c. Sifat-sifat perkalian

Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku
-
Sifat Komutatif
:
a x b = b x a
-
Sifat Asosiatif
:
(a x b) x c = a x (b x c)
-
Sifat Distributif
perkalian terhadap penjumlahan
:
(b + c) x a = (b x a) + (c x a)
-
Sifat Distributif
perkalian terhadap pengurangan
:
a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
-
Unsur identitas pada perkalian
:
a x 1 = 1 x a = a
-
Sifat perkalian dengan bilangan Nol
:
a x 0 = 0 x a = 0
-
Sifat perkalian untuk urutan
:
Jika a < b, c ≠ 0, maka a x c < b x c

d. Sifat-sifat pembagian

1
Sifat bilangan nol dalam pembagian:

Untuk setiap a, b, c, p, q, dan r, bilangan cacah berlaku

0 : a = 0 untuk a ≠ 0

a : 0 = tidak didefinisikan

0 : 0 = tidak tentu





2.
(a : b) : c = a : (b : c)
;
syarat:
b faktor dari a dan c faktor dari b.
3.
(abc) : (pqr) = a/p  x  b/q  x  c/r
;
syarat:
a, b, c, p, q, r merupakan bilangan-asli




-  p faktor dari a




-  q faktor dari b, dan




-  r faktor dari c





4.
a : b = (ca) : (cb)
;
syarat:
c ≠ 0, dan b faktor dari a
5.
a : b = [a/c] : [b/c]
;
syarat:
b faktor dari a dan c faktor dari b
6.
(a : b) : c = a : (b : c)
;
syarat:
b dan c faktor-faktor dari a
7.
(a : b) : c = (a : c) : b
;
syarat:
b dan c faktor-faktor dari a
8.
Sifat distributif pembagian terhadap penjumlahan:

(a + b) : c = [a/c] + [b/c]
;
syarat:
c faktor dari a dan b





9.
Sifat distributif pembagian terhadap pengurangan:

(a - b) : c = a/c  -  b/c
;
syarat:
a > b dan c faktor dari a dan b





10.
Jika a < b, c faktor dari a dan b, maka a/c  <  b/c






e. Sifat-sifat perpangkatan

Untuk setiap a, b, c, bilangan cacah berlaku:
1.
(a x b)c = ac x bc



2.
[a/b]c = ac : bc



3.
ab x ac = ab+c




ab : ac = ab-c
; syarat:
b ≥ c,
(ab)c = abc
4.
Bilangan nol dalam perpangkatan

0a = 0




a0 = 1




f. Sifat-sifat penarikan akar

Untuk setiap a, b, c bilangan cacah berlaku



















g. Sifat-sifat penarikan Logaritma



















B. Aritmetika:
Bagian 01. Sifat-Sifat pada Operasi Bilangan Cacah
Bagian 02. Mengalikan Bilangan dengan 5, 10, 11, 25, 99, 999, 9999, ...
Bagian 03. Membagi Bilangan dengan 10, 9, 99, ...
Bagian 04. Penguji Pembagian
Bagian 05. Kelipatan dengan KPK
Bagian 06. Pecahan Perbandingan dan Persen
Bagian 07. Bilangan Kuadrat dan Akar Kuadrat
Bagian 08. Kubik dan Akar Pangkat Tiga
Bagian 09. Luas, Volume dan Perimeter


Daftar Isi: Rumus Matematika

Cara Cepat Mengalikan Bilangan dengan 5, 10, 11, 25, 99, 999, 9999, ... (Aritemetika Bagian-02)

02. Mengalikan Bilangan dengan 5, 10, 11, 25, 99, 999, 9999, ...

a. Mengalikan dengan 5

Cara Biasa:

Dengan Cara Singkat:
dengan cara mengalikan:

Dengan cara menambahkan “0” dibelakang 1575, kemudian dibagi 2.
1575
       5  x
7875

Contoh:

15750 : 2 = 7875

b. Mengalikan dengan 10 dan kelipatannya

Bilangan Bulat:

Bilangan Desimal:
100 x 10
=
1.000

0,1 x 10
=
1
15 x 10
=
150

1,25 x 10
=
12,5
15 x 100
=
1.500

0,200 x 1.000
=
200







Cara mengalikan suatu bilangan dengan 10, 100, 1.000, ...; adalah dengan menambahkan 1, 2, 3, ...; angka Nol di belakang bilangan tersebut.

Mengalikan suatu bilangan desimal dengan 10, 100, 1000, ...; dengan cara memindahkan koma (tanda desimal) sebanyak 1, 2, 3, ...tempat ke kanan

c. Mengalikan dengan 11

11
x
11
=
121
contoh lain: 
243
x
11
=
2673
1      1



2       4       3



+




+         +


1
2
1



2    6    7    3

























d. Mengalikan dengan 25

Cara Biasa:

Cara Singkat:
  2138
       25  x
10690
4276     +
53450

Tambahkan dua angka nol di belakang 2138,
kemudian bagi dengan 4
yaitu:

213800 : 4 = 53450




e. Mengalikan dengan 99, 999, 9999, ...

3415 x 99 = 338085
Cara Singkat:
Tambahkan dua angka nol dibelakang 3415,
kemudian kurangkan dengan bilangan itu sendiri
341500
     3415  -
338085



3415 x 999 = 3411585
Cara Singkat:
Tambahkan tiga angka nol dibelakang 3415,
kemudian kurangkan dengan bilangan itu sendiri
3415000
       3415  -
3411585



3415 x 9999 = 34146585
Cara Singkat:
Tambahkan empat angka nol dibelakang 3415,
kemudian kurangkan dengan bilangan itu sendiri
34150000
         3415  -
34146585







B. Aritmetika:
Bagian 01. Sifat-Sifat pada Operasi Bilangan Cacah
Bagian 02. Mengalikan Bilangan dengan 5, 10, 11, 25, 99, 999, 9999, ...
Bagian 03. Membagi Bilangan dengan 10, 9, 99, ...
Bagian 04. Penguji Pembagian
Bagian 05. Kelipatan dengan KPK
Bagian 06. Pecahan Perbandingan dan Persen
Bagian 07. Bilangan Kuadrat dan Akar Kuadrat
Bagian 08. Kubik dan Akar Pangkat Tiga
Bagian 09. Luas, Volume dan Perimeter


Daftar Isi: Rumus Matematika

Cara Cepat Membagi Bilangan dengan 10, 9, 99, ... (Aritmetika Bagian-03)

03. Membagi Bilangan dengan 10, 9, 99, ...

a. Membagi dengan 10 dan Kelipatannya

15
:
10
=
1,5
Keterangan:
Membagi suatu bilangan dengan 10, 100, 1000, ..., hasilnya adalah memindahkan tanda desimal (koma) sejauh 1, 2, 3, ...tempat ke kiri bilangan itu.
15
:
100
=
0,15
15
:
1.000
=
0,015





2.242
:
10
=
224,2
2.242
:
100
=
22,42
2.242
:
1.000
=
2,242
2.242
:
10.000
=
0,2242

b. Membagi dengan 9, 99, 999, ...

2
:
9
=
0,2222...
Keterangan:
Pembagian ini selalu menghasilkan bilangan yang selalu bersisa dan memiliki angka desimal tak terhingga.

Perhatikan pola dari hasil pembagiannya!!!.

3
:
9
=
0,3333...
4
:
9
=
0,4444...
10

9
=
1,1111...





1
:
99
=
0,0101...
2
:
99
=
0,0202...
3
:
99
=
0,0303...
10
:
99
=
0,1010





1
:
999
=
0,001001...
2
:
999
=
0,002002...
8
:
999
=
0,008008...
10
:
999
=
0,010010...
20
:
999
=
0,020020...
124
:
999
=
0,124124...


B. Aritmetika:
Bagian 01. Sifat-Sifat pada Operasi Bilangan Cacah
Bagian 02. Mengalikan Bilangan dengan 5, 10, 11, 25, 99, 999, 9999, ...
Bagian 03. Membagi Bilangan dengan 10, 9, 99, ...
Bagian 04. Penguji Pembagian
Bagian 05. Kelipatan dengan KPK
Bagian 06. Pecahan Perbandingan dan Persen
Bagian 07. Bilangan Kuadrat dan Akar Kuadrat
Bagian 08. Kubik dan Akar Pangkat Tiga
Bagian 09. Luas, Volume dan Perimeter


Daftar Isi: Rumus Matematika